Тема 1.10. Метод кінетостатики

 

План

 

1. Поняття про вільну та невільну точки. Поняття про силу інерції. Сили інерції за прямолінійного та криволінійного руху матеріальної точки

2. Принцип д’Аламбера, метод кінетостатики

 

 

1.  Поняття про вільну та невільну точки. Поняття про силу інерції. Сили інерції за прямолінійного та криволінійного руху матеріальної точки

 

Нехай матеріальна точка, маса якої m, рухається з прискоренням під дією якоїсь системи активних і реактивних сил, рівнодіюча яких F. Скористаємось однією з відомих формул (основним рівнянням динамі­ки), щоб рівняння руху записати у вигляді рівнянь рівноваги (метод кінетостатики):

.

Перепишемо це рівняння у такому вигляді:

.

Вираз у дужках позначимо F і назвемо силою інерції:

 

.

 

Сила інерції – це вектор, який дорівнює добутку маси точки на її прискорення і має протилежний до прискорення напрям.

 

У криволінійному русі точки повне прискорення дорівнює вектор­ній сумі дотичного і нормального прискорень (рис. 1).

Дотичне прискорення:

 ,

нормальне прискорення:

,

повне прискорення:

.

 

Кожному прискоренню відповідає своя сила інерції:

 – дотична, або тангенціальна, сила інерції;

 – нормальна, або відцентрова, сила інерції;

 – повна сила інерції.

Безымянный

Рис. 1

 

    2.  Принцип д’Аламбера, метод кінетостатики

 

.

Цю рівність, яка є математичним виразом принципу, що носить ім'я французького вченого Д’Аламбера (1717–1783), можна розгляда­ти як рівняння рівноваги матеріальної точки. Під­креслимо, що добута рівність, хоч і називається рівнянням рівноваги, насправді є видозміненим рівнянням руху матеріальної точки.

Принцип Д’Аламбера формулюють так: активні і реактивні сили, які діють на матеріальну точку разом із силами інерції утворюють систему взаємно зрівноважених сил, що відповідає всім умовам рівноваги.

Треба пам'ятати, що сила інерції прикладена до розглядуваної матеріальної точки умовно, але для зв'язку, який спричинює прискорення, вона реальна. Пояснимо це на прикладі (рис. 2). Нехай до тіла, яке лежить на горизонтальній площині, прив'язано нитку, яка може витримати силу тяжіння G цього тіла. Якщо до нитки прикласти силу F статично (поступово), то тіло підніметься вгору і нитка не обі­рветься, а коли силу F прикласти динамічно (раптово, ривком), то нитка обірветься. Це пояснюється так.

Щоб підняти вантаж, йому потрібно надати певного прискорення . Для визначення натягу нитки застосуємо принцип Д’Аламбера і складемо рівняння рівноваги.

Безымянный

Рис. 2

 

 .

        

Вагою тіла називають силу, з якою тіло внаслідок притягання до Землі діє на опору (або підвіс), яка утримує його від вільного падіння. Якщо тіло і опора нерухомі, то вага тіла дорівнює його силі тяжіння.

 

Розглянемо рівномірний рух по колу, що лежить у горизонтальній площині, каменя, на який діє сила тяжіння G. Камінь прив'язано до невагомої нитки завдовжки R, яка лежить у тій самій площині (рис. 3а).

Безымянный

Рис. 3

 

Щоб нитка залишалась у площині руху каменя, припускаємо, що він ковзає на ідеальній гладенькій горизонтальній площині. Швидкість каменя позначимо V.

Тоді – від­центрова сила інерції (ця сила натягує нитку);

доцентро­ва сила, прикладена до каменя (ця сила утримує камінь на колі).

Відцентрова і доцентрова сили (дія і протидія) за третім законом Ньютона дорівнюють одна одній за модулем і мають протилежні напрями.

Очевидно, що дотична сила інерції Fу цьому випадку дорівнює нулю, бо V = const.

З досвіду відомо, що за достатньої швидкості нитка може розірватись і камінь полетить по дотичній до кола, тобто в напрямку швид­кості, яку має камінь у момент розриву нитки. Це свідчить про те, що відцентрова сила інерції є реальною силою для зв'язку, але до тіла вона прикладена умовно.

Всередині тіл, які рухаються з прискоренням, також виникають внутрішні сили інерції, бо для кожної частинки тіла сусідні частинки є зв'язками. Знайдемо, чому дорівнюватиме натяг нитки, коли камінь рухається по колу, яке лежить у вертикальній площині (рис. 3б). Щоб знайти натяг Т нитки, застосуємо принцип д'Аламбера, тобто прикладемо до каменя нормальну силу інерції Fnін і дотичну силу інерції Ftін. Спроектуємо всі сили на напрям нитки, тоді

,

звідки

.

Натяг нитки буде максимальним, коли  = 0, тобто коли камінь буде в нижньому положенні:

.

Натяг нитки буде мінімальним, коли  =  рад, тобто коли камінь буде вгорі:

.

Зазначимо, що під впливом сили тяжіння каменя модуль його швид­кості V змінюватиметься і досягне найменшого значення у верхньому положенні, а найбільшого – в нижньому.

 

 

 

Приклад розвязку задачі

 

Для механізму, вказаному на рис. 4, який складається з вантажу 3 та чотирьох ступінчастих зубчастих коліс, за заданим законом зміни швидкості вантажу знайти в момент часу t1=1 c за G = 280 Н, R1= 10 cм, r1=5 cм, R2=25 cм, r2= 24 cм: швидкості і прискорення точок А і В та вантажу 3; кутові швидкості та прискорення ступінчастих коліс 1 та 2 механізму; натяг шнуру до якого підвішений вантаж. Масою шнура і тертям у ланках механізму знехтувати.

Безымянный

 

Рис. 4

 

1) Визначаємо швидкість і прискорення вантажу 3

За умовою  за t1=1 c; швидкість вантажу , вантаж рухається прямолінійно, тому прискорення вантажу 3 дорівнює:

;

за t1=1 c

.

 

2) Кутова швидкість колеса 2 дорівнює:

;

за t1=1 c

.

 

3) Кутове прискорення колеса 2 дорівнює:

;

за t1=1 c

.

 

4) Визначимо передаточне число механізму

;

тоді кутова швидкість колеса1.

,

за t1=1 c

.

 

5) Кутове прискорення колеса 1 дорівнює:

,

за t1=1 c

.

 

6) Швидкість точки А   ;

 

7) Прискорення точки А дорівнює:

,

 де

      – нормальна складова прискорення;

                                                      

      – дотична складова прискорення.

 

8) Швидкість точки В

;

Прискорення точки В дорівнює:

,

   де  – нормальна складова прискорення;

         дотична складова прискорення.

Напрями швидкостей і прискорень показані на рис. 4.

 

9) До вантажу прикладаємо активні сили і реакції зв'язків: сила тяжіння G спрямована вертикально донизу, реакція шнура N чисельно дорівнює його натягу і спрямована вертикально догори. Умовно прикладемо до цих сил силу інерції Fін спрямовану протилежно прискоренню вантажу тобто вертикально догори (рис. 5).

 

Безымянный

 

Рис. 5

 

10) Складаємо рівняння рівноваги.

 

;

,

      де

.

 

Відповідь:,,,,,,,,.

 

 

Запитання для самоконтролю

 

1.        Що називають силою інерції?

2.        За якого руху виникає сила інерції?

3.        Чому дорівнює сила інерції за руху тіла по криволінійній траєкторії?

4.        У чому полягає суть методу кінетостатики?

 

 

 

Попередня тема                                     Теоретичні відомості                                     Наступна тема