Тема 2.3. Практичні розрахунки на зріз і зминання

 

План

1. Чистий зсув

2. Закон Гука для зсуву. Модуль зсуву. Залежність між трьома пружними постійними для ізотропного тіла

3. Зріз. Основні припущення та розрахункові формули

4. Зминання, умовності розрахунку, розрахункові формули

 

1. Чистий зсув

 

Зсувом називають такий вид деформації, за якої в будь-якому поперечному перерізі виникає лише поперечна сила.

 

Деформацію зсуву можна спостерігати, наприклад під час різання ножицями металевих штаб або прутків.


Рис. 1

Під час визначення напруг на похилих площадках у розтягнених або стиснених брусах визначено, що в цих перерізах виникають, крім нормальних, дотичні напруги. Останні намагаю­ться зсунути одну частину бруса відносно другої.

Розглянемо паралелепіпед, який закріплений нижньою гранню і на який діє сила Q (рис. 1).

Під дією сили грань ab переміститься в положення а'b'.

Коли на площадки елемента діють тільки дотичні напруги, в ньому виникають деформації чистого зсуву.

Лінійне переміщення аа'  називається абсолютним зсувом. Відношення абсолютного зсуву аа' = ∆S до висоти паралелепі­педа h називається відносним зсувом, тобто:

.

Внаслідок малої величини кута тангенс можна замінити кутом. Отже, мірою відносного зсуву є кут γ.

 

 

2.  Закон Гука для зсуву. Модуль зсуву. Залежність між трьома пружними постійними для ізотропного тіла

 

На основі дослідних і теоретичних досліджень установлено, що для багатьох матеріалів у границях пружності існує лінійна залежність між дотичними напругами і відносним зсувом. Цю залежність називають законом Гука для зсуву, її записують у такому вигляді:

,     

          G – модуль пружності за зсуву (модуль зсуву).

Орієнтовні значення модуля зсуву:

-         для сталі – 8·104 МПа;

-         для чавуну – 4,5·104 МПа.

 

Отже, дотичні напруги за зсуву прямо і порційні куту зсуву:

 

.

 

Ця формула виражає теоретичну залежність між модулем пружності за зсуву та модулем пружності за розтягу через коефіцієнт Пуассона.

 

3. Зріз. Основні припущення та розрахункові формули

 

Деталі, які служать для з’єднання окремих елементів машин чи будівельних конструкцій (штифти, заклепки, болти, шпонки (рис. 2а,б,в,г), у багатьох випадках сприймають навантаження, перпендикулярні до їх поздовжньої осі.

                                                         

 

  

Рис. 2

Практичні розрахунки таких деталей базуються на таких припущеннях:

1) в поперечному перерізі виникає тільки один внутрішній силовий фактор – поперечна сила Q;

2) дотичні напруги, які виникають у поперечному перерізі розподіляються на його площі рівномірно;

3) у випадку, якщо з’єднання виконане декількома однаковими деталями, вважаємо, що всі вони навантажені однаково.

 

 

Рис. 3

Руйнування з’єднувальних деталей (у випадку недостатньої міцності) відбувається як результат перерізання вздовж площини, яка співпадає з поверхнею дотикання з’єднуваних деталей (рис. 3). Тому говорять, що ці елементи працюють на зріз.

 

Умова міцності на зріз:

,

де:   – розрахункова напруга зрізу; 

        Q – поперечна сила; 

         Азр – площа зрізу однієї деталі;

        – допустима напруга зрізу.

 

У машинобудуванні під час розрахунків штифтів, болтів, шпонок тощо приймають

,

де  , – границя текучості та допустима напруга розтягу відповідно для матеріалу деталі.

Розрахунок на зріз забезпечує міцність з’єднання елементів але не гарантує надійність конструкції взагалі.

 

 

4. Зминання, умовності розрахунку, розрахункові формули

 

Коли деталі конструкцій, які передають значне стискальне навантаження, мають невелику площу контакту, то поверхні цих деталей можуть зминатися. Щоб не сталося зминання, під гайки і головки болтів, наприклад, підкладають шайби. Для спрощення розрахунків вважають, що за площинного контакту виникають нормальні напруги зминання, що рівномірно розподілені на площі контакту. Розрахункове рівняння на зминання має вигляд:

 

,

 

де: F стискальна сила;

  допустима напруга на зминання;

Азм площа зминання;

і – кількість деталей у з’єднанні.

Якщо дотичні деталі виготовлені з різних матеріалів, то на зминання перевіряють м'якший матеріал.

Для двох деталей, які контактують циліндричними поверхнями (наприклад, заклепочне з'єднання), закон розподілу напруг зминання на поверхні контакту складний, рис. 4.

Безымянный

 

Рис. 4

 

Тому в розрахункову формулу зминання циліндричних отворів підставляють не площу бокової поверхні півциліндра, за якою контактують деталі, а значно меншу площу діаметрального перерізу отвору (умовна площа зминання);  тоді     Азм=d∙s,

де: d діаметр отвору;

      s товщина з'єднуваної деталі (висота цилінд­ра).

Якщо з'єднувані деталі мають різну товщину, то в розрахункову  формулу підставляють меншу.

У машинобудуванні до­пустимі напруги на зми­нання для болтових, штиф­тових і шпонкових з'єднань з маловуглецевої сталі бе­руть у межах =100... 120 МПа, для заклепоч­них з'єднань = 240...320 МПа, для деревини (сосна, дуб) – = 2,4…11 МПа залежно від сорту деревини і напрямку стискальної сили відносно напрямку волокон.

Умови міцності на зріз і зминання використовують для перевірки міцності з'єднання. Залежно від ставлення завдання вони можуть бути перетворені для визначення допустимого навантаження або необхідної площі перерізу (проектний розрахунок).

 

Запитання для самоконтролю

 

1.        Яку деформацію називають зсувом?

2.        Сформулюйте закон Гука для зсуву.

 

 

 

 

Попередня тема                                     Теоретичні відомості                                     Наступна тема